為什么動能公式與彈性勢能公式有驚人的相似性
你可以這么看，動能和勢能都是能量的一種，就像你說的那樣，動能可以看作由于外力作用于物體做功導致該物體速度的增加而具有動能，動能顯然應該等于外力所作的功。
同樣彈簧的彈性勢能也是由于外力作用于彈簧的一端做功導致彈簧變形而具有彈性勢能，同樣彈簧的彈性勢能也應等于外力所作的功。
我們知道外力做的功等于外力作用點在外力作用下移動的距離，仔細觀察一下，上述兩種現象的異同點表現如下：
a、作為增加動能的例子，我們可以舉兩種，一種是在一個恒定力作用下，該物體從速度為零增加到v，這時，加速度為
a = F/m,
我們就知道了需要的時間為
t= v/a = mv/F,
由于加速度不變，平均速度顯然是
Vp = (0 + v)/2 = v/2，
因此外力的作用點移動的距離，也就是物體移動的距離等于
l = mv/F * v/2 = (1/2)mv^2 /F
外力做的功為：
E = F * L = (1/2)mv^2 (注：^2表示平方)
這種情況相信你也能推導
增加動能的第二例子，我們可以選一個變化的外力，我們可以假定這個力與物體移動的距離滿足下式，方向指向l0所在位置，亦即
F = k(l-l0)，建立以I0為原點的坐標系，則上式表達為：
F = -kx
這個力顯然是的物體從原來的起點-l0點向坐標原點運動，并在坐標原點達到最大v，過l0點后開始減速，從零點運動到l0點，外力沿移動方向上的平均值為：
Fp = kl0 /2
變化的外力所做的功,也就是物體獲得的動能應該是
E = Fp * l0 = (1/2)kl0^2
我們可以得到每一位置的加速度為：
a = F/m = -(k/m)x
我們計算l0,也就是計算需要多長距離可以加速到v呢？這個計算起來比較復雜，注意到dl/dt = v，a = dv/dt有
x'' = -(k/m)x, x''代表x對t的二階導數。
最終可以計算出(邊界條件t=0，x=-l0)
x(t) = -l0 * cos(((k/m)^(1/2))t)
過原點的時間是π/(2(k/m)^(1/2))
求導計算出速度公式
v =l0 * (k/m)^(1/2)sin(((k/m)^(1/2))t)
v(t=0) = l0 * (k/m)^(1/2),
求解k，得到
k = mv^2 /l0^2
代入上面的獲得動能計算公式得到：
E = (1/2)kl^2 = (1/2)mv^2 /l0^2 * l^2 = (1/2)mv^2
由此可以得到
E= (1/2)mv^2
b、作為增加彈性勢能的例子，教科書上有推導，類似于a的第二種情形。也就是
平均彈力為最終彈力的一半
增加的彈性勢能為
E = (1/2)kx^2
綜合a，b，我們似乎看不到什么結論，但是從數學角度上看，我們都用到了一個線性函數y=kx下邊圍的面積為題，這實際上是一個積分問題，在線性函數這種特例下轉換為了平均值乘以區間長度，線性函數在區間的一個端點（原點）為零，另一個端點達到最大kx，平均值恰巧是1/2kx，因此就有了 S = （1/2）kx * x = (1/2) kx^2，彈力的是這樣，物體的動能也是這樣。另外a中的第二種情況世紀的物理意義時一根無質量的彈簧可移動的端點掛上一個質量為m的質點，代表了質點的動能和彈簧的勢能的轉換。
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bl bg 都標得清楚。
